Методы решения квадратных уравнений: дискриминант и формула корней
Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение — это уравнение вида:
где a, b, c — числа (коэффициенты), причем a ≠ 0, а x — неизвестная переменная.
Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения:
- a — старший коэффициент (коэффициент при x²)
- b — средний коэффициент (коэффициент при x)
- c — свободный член
Дискриминант
Дискриминант квадратного уравнения — это число, которое определяется по формуле:
Дискриминант позволяет определить количество и характер корней квадратного уравнения:
- Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня
- Если D = 0, то уравнение имеет один корень (два совпадающих корня)
- Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней
Формула корней квадратного уравнения
Если дискриминант неотрицателен (D ≥ 0), то корни квадратного уравнения находятся по формуле:
или в развернутом виде:
x₂ = (-b - √D) / (2a)
Если D = 0, то оба корня совпадают:
Примеры решения квадратных уравнений
Пример 1: Уравнение с двумя различными корнями
Решить уравнение: x² - 5x + 6 = 0
Решение:
1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = -5, c = 6
2. Вычисляем дискриминант: D = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1
3. Так как D > 0, уравнение имеет два корня:
x₁ = (5 + √1) / (2 × 1) = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (5 - √1) / (2 × 1) = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2
4. Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2
Пример 2: Уравнение с одним корнем
Решить уравнение: x² - 4x + 4 = 0
Решение:
1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = -4, c = 4
2. Вычисляем дискриминант: D = (-4)² - 4 × 1 × 4 = 16 - 16 = 0
3. Так как D = 0, уравнение имеет один корень:
x = -(-4) / (2 × 1) = 4 / 2 = 2
4. Ответ: x = 2
Пример 3: Уравнение без действительных корней
Решить уравнение: x² + 2x + 5 = 0
Решение:
1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = 2, c = 5
2. Вычисляем дискриминант: D = 2² - 4 × 1 × 5 = 4 - 20 = -16
3. Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней
4. Ответ: нет действительных корней
Пример 4: Уравнение с отрицательным старшим коэффициентом
Решить уравнение: -2x² + 7x - 3 = 0
Решение:
1. Определяем коэффициенты: a = -2, b = 7, c = -3
2. Вычисляем дискриминант: D = 7² - 4 × (-2) × (-3) = 49 - 24 = 25
3. Так как D > 0, уравнение имеет два корня:
x₁ = (-7 + √25) / (2 × (-2)) = (-7 + 5) / (-4) = -2 / (-4) = 0.5
x₂ = (-7 - √25) / (2 × (-2)) = (-7 - 5) / (-4) = -12 / (-4) = 3
4. Ответ: x₁ = 0.5, x₂ = 3
Теорема Виета
Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂ справедливы соотношения:
x₁ × x₂ = c/a
Теорема Виета позволяет:
- Проверить правильность найденных корней
- Найти корни, если они являются целыми числами
- Составить квадратное уравнение по его корням
Пример: Проверка корней с помощью теоремы Виета
Для уравнения x² - 5x + 6 = 0 мы нашли корни x₁ = 3, x₂ = 2
Проверим:
x₁ + x₂ = 3 + 2 = 5 = -(-5)/1 ✓
x₁ × x₂ = 3 × 2 = 6 = 6/1 ✓
Неполные квадратные уравнения
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
1. Уравнение вида ax² = 0
Имеет единственный корень: x = 0
2. Уравнение вида ax² + bx = 0
Решается вынесением x за скобки: x(ax + b) = 0
Корни: x₁ = 0, x₂ = -b/a
Пример: x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x₁ = 0, x₂ = 3
3. Уравнение вида ax² + c = 0
Решается переносом c в правую часть и извлечением корня:
Уравнение имеет корни только если -c/a ≥ 0
Пример: x² - 9 = 0
x² = 9
x = ±√9 = ±3
x₁ = 3, x₂ = -3
Алгоритм решения квадратного уравнения
- Привести уравнение к стандартному виду ax² + bx + c = 0
- Определить коэффициенты a, b, c
- Вычислить дискриминант D = b² - 4ac
- В зависимости от значения D:
- Если D > 0: найти два корня по формуле x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)
- Если D = 0: найти один корень x = -b / (2a)
- Если D < 0: записать ответ "нет действительных корней"
- Проверить корни (можно использовать теорему Виета)