Формулировка теоремы
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Если $c$ — длина гипотенузы (сторона, лежащая напротив прямого угла), а $a$ и $b$ — длины катетов (стороны, образующие прямой угол), то теорему можно записать в виде формулы:
Обратная теорема Пифагора
Верна и обратная теорема: если в треугольнике со сторонами $a, b, c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, то этот треугольник является прямоугольным, причем прямой угол лежит напротив стороны $c$.
Практическое применение
Теорема Пифагора используется повсеместно: от строительства и навигации до графического дизайна и теоретической физики. Она позволяет находить расстояния и длины по двум известным величинам, образующим прямой угол.
Пример 1: Нахождение гипотенузы
Задача: Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.
Решение:
Используем формулу $a^2 + b^2 = c^2$:
$6^2 + 8^2 = c^2$
$36 + 64 = c^2$
$100 = c^2$
$c = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: Гипотенуза равна 10 см.
Пример 2: Нахождение катета
Задача: Лестница длиной 5 метров приставлена к стене. Нижний конец лестницы находится в 3 метрах от стены. На какой высоте находится верхний конец лестницы?
Решение:
Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Лестница — это гипотенуза ($c = 5$ м), а расстояние от стены — один из катетов ($a = 3$ м). Нам нужно найти второй катет (высоту $b$).
$a^2 + b^2 = c^2$
$3^2 + b^2 = 5^2$
$9 + b^2 = 25$
$b^2 = 25 - 9$
$b^2 = 16$
$b = \sqrt{16} = 4$ м.
Ответ: Верхний конец лестницы находится на высоте 4 метра.
Пифагоровы тройки
Это наборы из трех целых чисел ($a, b, c$), которые удовлетворяют уравнению $a^2 + b^2 = c^2$. Их удобно запомнить, чтобы быстро решать задачи.
Самые известные "пифагоровы тройки":
- (3, 4, 5) → $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
- (6, 8, 10) → (это тройка 3, 4, 5, умноженная на 2)
- (5, 12, 13) → $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
- (8, 15, 17) → $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$