Что такое функция?
Функция — это правило или закон, по которому каждому значению одной переменной (независимой переменной, или аргументом, $x$) ставится в соответствие одно-единственное значение другой переменной (зависимой переменной, $y$).
Это можно представить как "черный ящик", в который вы подаете $x$, а он выдает вам $y$. Записывается это как $y = f(x)$.
- $x$ — аргумент (то, что мы выбираем сами).
- $y$ или $f(x)$ — значение функции (то, что получаем).
- Область определения ($D(f)$) — все допустимые значения $x$.
- Область значений ($E(f)$) — все значения, которые может принимать $y$.
График функции — это множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсциссы ($x$) — это допустимые значения аргумента, а ординаты ($y$) — соответствующие им значения функции.
Линейная функция: $y = kx + b$
Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа.
Графиком линейной функции всегда является прямая линия.
Коэффициенты $k$ и $b$
- $k$ — угловой коэффициент. Он отвечает за наклон прямой:
- Если $k > 0$, функция возрастает (прямая идет "в горку").
- Если $k < 0$, функция убывает (прямая идет "под горку").
- Если $k = 0$, функция имеет вид $y = b$ — это горизонтальная прямая.
- $b$ — свободный член. Это точка, в которой график пересекает ось $OY$. Координаты этой точки $(0; b)$.
Как построить график линейной функции
Задача: Построить график функции $y = 2x - 1$.
Решение:
Так как график — прямая, для его построения достаточно найти всего две точки. Возьмем два произвольных значения $x$ и найдем для них $y$.
-
Возьмем $x_1 = 0$.
$y_1 = 2 \cdot 0 - 1 = -1$.
Получили точку A (0; -1). (Кстати, это и есть точка пересечения с осью $OY$, так как $b = -1$). -
Возьмем $x_2 = 2$.
$y_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Получили точку B (2; 3). - Отмечаем точки A и B на координатной плоскости и проводим через них прямую. Это и есть график функции $y = 2x - 1$.
Квадратичная функция: $y = ax^2 + bx + c$
Квадратичная функция — это функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a, b, c$ — числа, и $a \neq 0$.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Ключевые элементы параболы
- Направление ветвей. Зависит от коэффициента $a$:
- Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
- Вершина параболы. Это самая нижняя (при $a > 0$) или самая верхняя (при $a < 0$) точка параболы. Ее координаты $(x_0; y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$Чтобы найти $y_0$, нужно подставить найденный $x_0$ обратно в функцию: $y_0 = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$.
- Точки пересечения с осями:
- С осью $OY$: Это точка $(0; c)$. Коэффициент $c$ показывает, где парабола пересекает ось $y$.
- С осью $OX$: Это нули функции. Чтобы их найти, нужно приравнять функцию к нулю ($ax^2 + bx + c = 0$) и решить квадратное уравнение. У параболы может быть две, одна или ни одной точки пересечения с осью $OX$.
Как построить график квадратичной функции
Задача: Построить график функции $y = x^2 - 4x + 3$.
Решение (по шагам):
- $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
-
Найдем вершину $(x_0; y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Вершина параболы: (2; -1). -
Точка пересечения с $OY$:
$c = 3$. Точка (0; 3). -
Точки пересечения с $OX$ (нули функции):
$x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант):
$x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Точки: (1; 0) и (3; 0). - Дополнительная точка: Найдем точку, симметричную точке $(0; 3)$ относительно оси симметрии $x = x_0 = 2$. Эта точка будет $(4; 3)$.
- Отмечаем все найденные точки (2; -1), (0; 3), (1; 0), (3; 0), (4; 3) и плавно соединяем их, рисуя параболу.