Геометрия: Окружность и круг

Основные определения

Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой равноудалены от одной точки, называемой центром (обычно точка $O$).

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью (включая саму окружность).

Радиус ($R$): Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой.
Хорда: Отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.
Диаметр ($D$): Хорда, проходящая через центр. Диаметр равен двум радиусам ($D = 2R$).

Углы в окружности

Углы, связанные с окружностью, являются ключом к решению многих геометрических задач.

1. Центральный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны являются радиусами. Он измеряется дугой, на которую опирается.

Если центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$, то $\angle AOB = \text{дуга } AB$.

2. Вписанный угол

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами.

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия из теоремы о вписанном угле:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр (или полукружность), является прямым (равен 90°).

Свойства касательных и хорд

Касательная к окружности

Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку (точку касания).

Основное свойство: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки вне окружности, равны.

Свойства хорд

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, то $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Длина окружности и площадь круга

Для вычисления длины окружности и площади круга используется число $\pi$ (Пи) — математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Приблизительное значение $\pi \approx 3.14159$.

Длина окружности ($C$)

Длина окружности (периметр круга) вычисляется по одной из двух формул:

$C = 2\pi R$ (через радиус)
$C = \pi D$ (через диаметр)

Площадь круга ($S$)

Площадь круга вычисляется по формуле:

$S = \pi R^2$

Пример задачи

Задача: Найдите длину окружности и площадь круга, если радиус $R = 5$ см.

Решение:

1. Длина окружности:
$C = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi$ см.

2. Площадь круга:
$S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

Ответ: $C = 10\pi$ см, $S = 25\pi$ см².

🔵 Геометрия: Окружность и круг