Геометрия: Площади фигур

Геометрия

Формулы для вычисления площадей различных геометрических фигур

Что такое площадь?

Площадь — это численная характеристика двумерной геометрической фигуры, показывающая, сколько единичных квадратов помещается внутри этой фигуры. Площадь измеряется в квадратных единицах (м², см², км² и т.д.).

Площади основных фигур

Квадрат

Сторона: a

S = a²

Пример:

Если a = 5 см, то S = 5² = 25 см²

Прямоугольник

Длина: a, ширина: b

S = a × b

Пример:

Если a = 6 м, b = 4 м, то S = 6 × 4 = 24 м²

Треугольник

Основание: a, высота: h

S = (a × h) / 2

Пример:

Если a = 8 см, h = 5 см, то S = (8 × 5) / 2 = 20 см²

Параллелограмм

Основание: a, высота: h

S = a × h

Пример:

Если a = 7 см, h = 4 см, то S = 7 × 4 = 28 см²

Ромб

Диагонали: d₁, d₂

S = (d₁ × d₂) / 2

Пример:

Если d₁ = 6 см, d₂ = 8 см, то S = (6 × 8) / 2 = 24 см²

Трапеция

Основания: a, b, высота: h

S = ((a + b) × h) / 2

Пример:

Если a = 5 см, b = 9 см, h = 4 см, то S = ((5 + 9) × 4) / 2 = 28 см²

Круг

Радиус: r, π ≈ 3.14159

S = π × r²

Пример:

Если r = 3 см, то S = π × 3² = 9π ≈ 28.27 см²

Эллипс

Полуоси: a, b, π ≈ 3.14159

S = π × a × b

Пример:

Если a = 4 см, b = 3 см, то S = π × 4 × 3 = 12π ≈ 37.70 см²

Специальные формулы для треугольников

Формула Герона

Для треугольника со сторонами a, b, c:

Полупериметр: p = (a + b + c) / 2

S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))

Пример:

Треугольник со сторонами 3, 4, 5:

p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6

S = √(6 × (6-3) × (6-4) × (6-5)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

Площадь через две стороны и угол между ними

Для треугольника со сторонами a, b и углом α между ними:

S = (a × b × sin(α)) / 2

Площадь прямоугольного треугольника

Для треугольника с катетами a и b:

S = (a × b) / 2

Площадь равностороннего треугольника

Для треугольника со стороной a:

S = (a² × √3) / 4

Площади многоугольников

Правильный многоугольник

Для правильного n-угольника со стороной a и апофемой (радиусом вписанной окружности) r:

S = (n × a × r) / 2

или через радиус описанной окружности R:

S = (n × R² × sin(360°/n)) / 2

Правильный шестиугольник

Для правильного шестиугольника со стороной a:

S = (3 × a² × √3) / 2

Произвольный многоугольник (метод координат)

Если известны координаты вершин (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ):

S = |Σ(xᵢ × yᵢ₊₁ - xᵢ₊₁ × yᵢ)| / 2

где сумма берется по всем вершинам, а индекс n+1 означает индекс 1 (замыкание многоугольника)

Сектор и сегмент круга

Площадь сектора круга

Для сектора с радиусом r и центральным углом α (в градусах):

S = (π × r² × α) / 360°

или если угол в радианах:

S = (r² × α) / 2

Площадь сегмента круга

Площадь сегмента = площадь сектора - площадь треугольника

S = (r² × (α - sin(α))) / 2

где α — центральный угол в радианах

Свойства площадей

  • Площадь всегда положительна
  • Площадь фигуры не изменяется при параллельном переносе
  • Площадь фигуры не изменяется при повороте
  • При гомотетии (подобии) с коэффициентом k площадь умножается на k²
  • Площадь объединения непересекающихся фигур равна сумме их площадей
  • Площадь пересечения фигур не превосходит площади каждой из них

Практические советы

  • Всегда проверяйте единицы измерения — они должны быть одинаковыми
  • Для сложных фигур разбивайте их на простые части
  • Используйте формулу Герона, когда известны только стороны треугольника
  • Помните, что π ≈ 3.14159, но для точных вычислений используйте значение из калькулятора
  • При работе с углами следите за единицами измерения (градусы или радианы)

Нужна помощь?

Если у вас есть вопросы или предложения, обращайтесь в службу поддержки:

support@ilafrommath.tech