Тригонометрия — это раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольников. В основе современной тригонометрии лежит понятие тригонометрической окружности — единичной окружности ($R=1$) с центром в начале координат.
Основные тригонометрические функции
Функции определяются через координаты $(x, y)$ точки $P$, полученной поворотом точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат.
- Синус ($\sin$): Ордината (координата $y$) точки $P$. $ \sin(\alpha) = y $
- Косинус ($\cos$): Абсцисса (координата $x$) точки $P$. $ \cos(\alpha) = x $
- Тангенс ($\tan$): Отношение синуса к косинусу. $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x} $
- Котангенс ($\cot$): Отношение косинуса к синусу. $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y} $
Из определения и теоремы Пифагора ($x^2 + y^2 = 1$) вытекает основное тригонометрическое тождество:
$$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $$
Свойства и графики функций
1. Синус ($y = \sin(x)$)
- Область определения ($D(f)$): $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).
- Область значений ($E(f)$): $y \in [-1, 1]$.
- Периодичность: Функция периодическая с главным периодом $T = 2\pi$. $ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) $
- Четность: Функция нечетная. $ \sin(-x) = -\sin(x) $ (график симметричен относительно начала координат).
2. Косинус ($y = \cos(x)$)
[Image of cosine wave graph from -2pi to 2pi]- Область определения ($D(f)$): $x \in \mathbb{R}$.
- Область значений ($E(f)$): $y \in [-1, 1]$.
- Периодичность: Функция периодическая с главным периодом $T = 2\pi$. $ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) $
- Четность: Функция четная. $ \cos(-x) = \cos(x) $ (график симметричен относительно оси $Oy$).
3. Тангенс ($y = \tan(x)$)
- Область определения ($D(f)$): $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (В этих точках $ \cos(x) = 0 $).
- Область значений ($E(f)$): $y \in \mathbb{R}$ (от $-\infty$ до $+\infty$).
- Периодичность: Функция периодическая с главным периодом $T = \pi$. $ \tan(x + \pi) = \tan(x) $
- Четность: Функция нечетная. $ \tan(-x) = -\tan(x) $.
- Асимптоты: Вертикальные прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Формулы приведения
Формулы приведения используются для того, чтобы свести тригонометрическую функцию любого угла к функции острого угла (от 0 до $90^\circ$ или от 0 до $\pi/2$).
При использовании этих формул применяется мнемоническое правило:
- Знак: Знак итоговой функции определяется по знаку *исходной* функции в той четверти, в которой находится угол (если считать базовый угол $x$ острым).
- Смена функции:
- Если угол имеет вид $ \pi \pm x $ или $ 2\pi \pm x $, функция не меняется (синус остается синусом, косинус косинусом и т.д.).
- Если угол имеет вид $ \frac{\pi}{2} \pm x $ или $ \frac{3\pi}{2} \pm x $, функция меняется на "ко-функцию" (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот).
Примеры:
- $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $ (II четверть, $\sin$ положительный, функция не меняется)
- $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x) $ (II четверть, $\cos$ отрицательный, функция меняется)
- $ \tan(\pi + x) = \tan(x) $ (III четверть, $\tan$ положительный, функция не меняется)
- $ \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos(x) $ (III четверть, $\sin$ отрицательный, функция меняется)