Стереометрия — это раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве. Основными объектами изучения являются многогранники (такие как куб, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
В стереометрии мы оперируем двумя основными характеристиками: площадью поверхности и объемом.
Многогранники
Многогранник — это геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями).
Призма
Призма — многогранник, у которого две грани (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.
- Объем ($V$): Произведение площади основания на высоту.
$$ V = S_{осн} \cdot H $$
- Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): Сумма площадей боковых граней. Для прямой призмы: $ S_{бок} = P \cdot H $, где $P$ — периметр основания.
- Площадь полной поверхности ($S_{полн}$): $ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} $
Куб — это частный случай прямой призмы (и прямоугольного параллелепипеда), у которого все ребра равны ($a$).
- Объем: $ V = a^3 $
- Площадь поверхности: $ S_{полн} = 6a^2 $
Пирамида
Пирамида — многогранник, у которого одна грань (основание) — многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной.
[Image of a square pyramid]- Объем ($V$):
$$ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H $$
- Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): Сумма площадей боковых граней.
- Площадь полной поверхности ($S_{полн}$): $ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} $
Тела вращения
Тело вращения образуется вращением плоской фигуры вокруг некоторой оси.
Цилиндр
Цилиндр образуется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
- Объем ($V$): $ R $ — радиус основания, $H$ — высота.
$$ V = \pi R^2 H $$
- Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):
$$ S_{бок} = 2 \pi R H $$
- Площадь полной поверхности ($S_{полн}$):
$$ S_{полн} = 2 \pi R H + 2 \pi R^2 = 2 \pi R (H + R) $$
Конус
Конус образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
- Объем ($V$): $ R $ — радиус основания, $H$ — высота.
$$ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H $$
- Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): $ L $ — образующая ($L = \sqrt{R^2 + H^2}$).
$$ S_{бок} = \pi R L $$
- Площадь полной поверхности ($S_{полн}$):
$$ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R L + \pi R^2 = \pi R (L + R) $$
Шар и Сфера
Сфера — это поверхность, все точки которой равноудалены от центра. Шар — это тело, ограниченное сферой.
- Объем Шара ($V$):
$$ V = \frac{4}{3} \pi R^3 $$
- Площадь поверхности Сферы ($S$):
$$ S = 4 \pi R^2 $$