Логарифм — это операция, обратная возведению в степень. Логарифмы были введены для упрощения сложных вычислений (например, умножения и деления многозначных чисел) и сегодня являются фундаментальным понятием в математике.
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) называется такое число $c$, что $a$ в степени $c$ равно $b$.
Это записывается так:
Примеры:
- $ \log_2(8) = 3 $, потому что $ 2^3 = 8 $
- $ \log_{10}(100) = 2 $, потому что $ 10^2 = 100 $
- $ \log_5(1) = 0 $, потому что $ 5^0 = 1 $
- $ \log_3(\frac{1}{9}) = -2 $, потому что $ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $
В выражении $ \log_a(b) $ всегда должны выполняться условия:
- Основание $a > 0$ (больше нуля)
- Основание $a \neq 1$ (не равно единице)
- Аргумент $b > 0$ (больше нуля)
Особые виды логарифмов
- Десятичный логарифм: Логарифм по основанию 10. Обозначается как $ \lg(b) $. ( $ \lg(b) = \log_{10}(b) $ )
- Натуральный логарифм: Логарифм по основанию $e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718...$). Обозначается как $ \ln(b) $. ( $ \ln(b) = \log_e(b) $ )
Свойства логарифмов
Эти свойства являются ключом к упрощению выражений и решению уравнений.
- Логарифм произведения: $ \log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) $
- Логарифм частного: $ \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y) $
- Логарифм степени: $ \log_a(x^p) = p \cdot \log_a(x) $
- Логарифм от основания: $ \log_a(a) = 1 $
- Логарифм единицы: $ \log_a(1) = 0 $
- Формула перехода к новому основанию: $ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} $
- Частный случай перехода: $ \log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)} $
Из этих свойств также следует основное логарифмическое тождество:
Решение логарифмических уравнений
Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная (переменная) находится под знаком логарифма или в его основании.
Главный метод решения — потенцирование, то есть переход от равенства логарифмов к равенству их аргументов.
Если $ \log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) $, то $ f(x) = g(x) $.
Важно: При решении логарифмических уравнений всегда необходимо проверять ОДЗ (Область Допустимых Значений) или делать проверку найденных корней.
Пример 1:
Решить уравнение $ \log_3(x + 2) = \log_3(4x - 7) $
1. Приравниваем аргументы: $ x + 2 = 4x - 7 $
2. Решаем линейное уравнение: $ 2 + 7 = 4x - x \Rightarrow 9 = 3x \Rightarrow x = 3 $
3. Проверяем ОДЗ. Оба аргумента должны быть больше нуля:
- $ x + 2 \Rightarrow 3 + 2 = 5 > 0 $ (Верно)
- $ 4x - 7 \Rightarrow 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5 > 0 $ (Верно)
Пример 2:
Решить уравнение $ \log_2(x - 1) + \log_2(x - 2) = 1 $
1. Используем свойство логарифма произведения: $ \log_2((x - 1)(x - 2)) = 1 $
2. Представляем $1$ как логарифм по основанию 2: $ 1 = \log_2(2) $
3. Получаем: $ \log_2((x - 1)(x - 2)) = \log_2(2) $
4. Приравниваем аргументы: $ (x - 1)(x - 2) = 2 $
5. Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение: $ x^2 - 2x - x + 2 = 2 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 $
6. Получаем два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 3 $.
7. Проверяем ОДЗ (оба исходных аргумента $x-1$ и $x-2$ должны быть $> 0$):
- Проверяем $ x_1 = 0 $: $ (0 - 1) = -1 $. Это $ < 0 $. Корень не подходит.
- Проверяем $ x_2 = 3 $: $ (3 - 1) = 2 > 0 $ и $ (3 - 2) = 1 > 0 $. Корень подходит.