Алгебра: Комплексные числа

Комплексные числа — это расширение множества действительных (привычных нам) чисел. Они были введены, чтобы решить проблему извлечения квадратных корней из отрицательных чисел, например, $ \sqrt{-1} $.

Понятие комплексного числа

Вводится специальное число, называемое мнимой единицей $i$, которое по определению равно:

$$ i^2 = -1 \quad \text{или} \quad i = \sqrt{-1} $$

Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение вида:

$$ z = a + bi $$

$a$ — действительная (вещественная) часть, $a = \text{Re}(z)$
$b$ — мнимая часть, $b = \text{Im}(z)$
$i$ — мнимая единица

Примеры:

$z = 5 + 3i$ (здесь $a=5$, $b=3$)
$z = 7i$ (чисто мнимое число, $a=0$, $b=7$)
$z = -4$ (действительное число, $a=-4$, $b=0$). Это показывает, что действительные числа являются частью комплексных.

Число $\bar{z} = a - bi$ называется комплексно-сопряженным к $z = a + bi$.

Арифметические операции

Операции над комплексными числами похожи на операции с многочленами, где $i$ — это просто переменная, но с одним правилом: $i^2$ всегда заменяется на $-1$.

Пусть $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$.

1. Сложение и вычитание

Действительные и мнимые части складываются (или вычитаются) отдельно:

$$ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i $$ $$ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i $$

Пример: $(2 + 3i) + (4 - i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i$

2. Умножение

Раскрываем скобки как обычно, затем заменяем $i^2$ на $-1$:

$$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

Пример:

$$ \begin{align*} (1 + 2i)(3 - 4i) &= 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i) \\ &= 3 - 4i + 6i - 8i^2 \\ &= 3 + 2i - 8(-1) \\ &= 3 + 2i + 8 = 11 + 2i \end{align*} $$

3. Деление

Чтобы разделить $z_1$ на $z_2$, нужно "избавиться" от $i$ в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю ($c - di$):

$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

Пример:

$$ \begin{align*} \frac{2 + 3i}{1 + 2i} &= \frac{(2 + 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} \\ &= \frac{2 - 4i + 3i - 6i^2}{1^2 - (2i)^2} \\ &= \frac{2 - i - 6(-1)}{1 - 4i^2} \\ &= \frac{2 - i + 6}{1 - 4(-1)} \\ &= \frac{8 - i}{1 + 4} = \frac{8 - i}{5} \\ &= \frac{8}{5} - \frac{1}{5}i \end{align*} $$

Геометрическая интерпретация

Комплексные числа можно изображать как точки или векторы на комплексной плоскости (также известной как плоскость Аргана).

Горизонтальная ось (Оси $x$) называется действительной осью (Re).
Вертикальная ось (Оси $y$) называется мнимой осью (Im).

Число $z = a + bi$ соответствует точке с координатами $(a, b)$.

Геометрический смысл операций:

Сложение $z_1 + z_2$ соответствует сложению векторов по правилу параллелограмма.
Умножение на $i$ соответствует повороту вектора на $90^\circ$ (против часовой стрелки) вокруг начала координат.